短时傅里叶变换

短时傅里叶变换（STFT）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。它是傅里叶变换在时变信号上的推广，可以用于分析非稳态信号的频谱特性。STFT 在信号处理、音频处理、图像处理和通信等领域都有广泛应用。

在传统的傅里叶变换中，我们假设信号是稳态的，即信号在整个时间范围内都保持不变。然而，在实际应用中，很多信号都是时变的，即随着时间的推移其频谱特性也在变化。为了分析这种时变信号的频谱特性，STFT 就派上了用场。

STFT 的基本思想是将时域信号分成许多小的时间窗口，在每个时间窗口上进行傅里叶变换。这样可以得到每个时间窗口的频谱信息，从而揭示出信号在不同时间段内的频谱特性。通过改变时间窗口的大小和重叠率，我们可以调整 STFT 的分辨率和频率精度。

具体来说，对于一个长度为 N 的离散时域信号 x(n)，STFT 的计算步骤如下：

1. 选择一个长度为 M 的窗函数 w(m)，常见的窗函数有汉宁窗、矩形窗等。

2. 将信号 x(n) 分成重叠的小段，每段包含 M 个采样点。

3. 对于每个时间段，将窗函数 w(m) 与该时间段的信号相乘，得到加权后的信号。

4. 对加权后的信号进行 N 点离散傅里叶变换（DFT），得到该时间段的频谱信息。

5. 重复上述步骤，直到覆盖整个时域信号。

通过对每个时间段进行傅里叶变换，我们可以得到时频域上的频谱信息。这样，我们就能够观察到信号在不同时间段内的频谱变化，从而分析信号的时变特性。

STFT 在许多领域都有广泛的应用。在音频处理中，它可以用于音乐分析、语音识别和音频压缩等任务。在图像处理中，STFT 可以用于纹理分析、图像增强和图像压缩等方面。在通信领域，STFT 也被广泛应用于调制识别、频谱分析和信道估计等任务。